Кузьмин Е. В. Критерий вероятности реализации альтернативы при принятии управленческого решения

С точки зрения теории управления процесс принятия управленческого решения часто рассматривается как задача выбора наилучшей альтернативы действий с учетом многих критериев. В условиях динамичной внешней среды недостаточно принять оптимальное решение, необходимо, чтобы решение было устойчивым к незапланированным изменениям параметров среды. В связи с этим важной проблемой является априорная оценка надежности принимаемого решения, то есть вероятности получения удовлетворительного результата. Отсутствие разработанных универсальных подходов делает актуальными исследования в этой области.  

Рассмотрим процесс принятия управленческого решения (ППР) в коммерческой организации с точки зрения теории принятия решений. При этом ППР в значительной мере сводится к выявлению наилучшей альтернативы решения проблемы из совокупности возможных альтернатив. Математическая модель принятия решения должна включать следующую информацию:  

  •  список варьируемых параметров;
  •  область допустимых значений;
  •  список критериев оптимальности;
  •  метод выбора рационального решения из множества доступных.

Деятельность любой организации можно охарактеризовать набором показателей Х = (х1, х2, … xn), отражающих его внутренние характеристики (производственные, финансовые, организационные и пр.). В данной статье мы не будем проводить разделение показателей производственно-хозяйственной деятельности (ПХД) организации на параметры управления и выходные характеристики, которое зачастую используется в теории управления. Такое разделение в данном случае излишне по двум причинам. Во-первых, разделение показателей на управляющие и управляемые всегда в значительной степени условно и зависит от позиции исследователя. Во-вторых, в условиях динамичной рыночной среды любой параметр работы коммерческой организации может стать объектом управляющего воздействия в зависимости от ситуации.  

Показатели ПХД организации могут иметь различные ограничения, основанные на их экономической природе. Как правило, большинство параметров организации являются неотрицательными, то есть  

xi ≥ 0, i = 1,n.

Также могут существовать другие ограничения, накладываемые как объективными особенностями производства, так и самой организацией. К последним можно отнести ограничения, устанавливаемые лицом, принимающим решения, (ЛПР) в процессе принятия управленческого решений (например, решение затратить на реализацию решения не более определенной суммы). Эти ограничения могут быть записаны в виде:

xmaxi ≥ xi ≥ xmini, i = 1,n.  


Таким образом, управленческое решение принимается на области значений параметров  

D = [x|gi(x) ≥ 0, i = 1,n];  

которая называется областью оптимизации.

Если исходный набор параметров Х0 определяется как неудовлетворительный, то возникает цель его преобразования к новому набору Х1, который бы более удовлетворял целям организации на рынке – выживанию и развитию. Таким образом, процесс управленческого воздействия можно представить как преобразование исходного набора характеристик Х0 = (х01, х02, … x0n) к новому набору Х1 = (х11, х12, … x1n) с помощью некоторой функции управления Y. Вместо самого набора Х, который может включать значительное число факторов, может использоваться агрегированный показатель эффективности работы организации FХ = FХ(Х), являющийся функцией от наиболее важных с точки зрения ЛПР показателей производственно-хозяйственной деятельности.  

Функции Yi, преобразующие исходное состояние организации в новое состояние, удовлетворяющее поставленным целям, в теории принятия решений называются альтернативами реализации управленческого решения. Каждая альтернатива реализуется в условиях воздействия факторов рыночной среды А = (а1, а2, … аm), и характеризуется определенным уровнем затрат ресурсов (финансовых, материальных, организационных и временных) Z = (z1, z2, … zk). Так как любая альтернатива рассматривается в качестве прогноза, значения А и Z также являются прогнозными (они обозначены символом «*»).                

Альтернативы представляют собой функции следующего типа:  

Yi(X0, Z*i, A*), i = 1,s;

где Yi – i-ая альтернатива;
Z*i – прогнозируемые затраты на реализацию i-ой альтернативы;

A* – прогноз состояния внешней среды.

Прогнозируемый результат реализации альтернативы описывается следующей функцией:  

X*i = Yi(X0, Z*i, A*), i = 1,s.

Теоретически, может существовать большое число возможных функций Yi, преобразующих Х0 к Х1 (или F0Х к F1Х).  Оптимальным с точки зрения управления является такое преобразование, которое достигается с наименьшими затратами ресурсов (временных, материальных, организационных и пр.) Zi.  

Очевидно, что в общем случае не существует альтернативы, которая бы имела минимальные показатели по всем составляющим затрат, и обеспечивала бы наилучшее значение вектора Х1. Вместо этого существует область векторов затрат и параметров организации, внутри которой невозможно выделить однозначно лучшее решение. Эта область называется областью компромиссов, а сами решения – оптимальными по Парето.  

Специфика экономических задач заключается в наличии большого количества альтернатив, при этом Парето-оптимизация, как правило, не дает значительного сокращения их количества. Дальнейший поиск наилучшей альтернативы среди Парето оптимальных представляет собой задачу многокритериальной оптимизации.  

Перед тем, как перейти к рассмотрению возможных путей решения оптимизационной задачи, внесем некоторые замечания, связанные со спецификой предметной области. В практике управления максимальное улучшение комплекса параметров Х1 может не являться необходимым условием решения задачи. При наличии множества неучтенных факторов и высокой динамики рыночной среды главным требованием к управленческому решению является гарантированность достижения преобразования Х0->Х1 при минимальном уровне затрат. Таким образом, условие максимизации Х1 переходит из области критериев оптимальности в разряд ограничений модели. Критериями оптимальности в этом случае являются элементы вектора затрат (z1, z2, … zk).  

Хотя можно выделить различные виды затрат, которые осуществляет организация в процессе управленческого воздействия – материальные, финансовые, временные, организационные, психологические и пр., с точки зрения теории управления их можно свести только к двум видам: финансовым затратам и затратам времени. В результате задача сводится к оптимизации управленческих альтернатив по двум критериям: расходу финансовых ресурсов и временных затрат, то есть вектор Z принимает вид (zфин, zврем).  

Первым шагом при сопоставлении альтернатив по критериям оптимальности является приведение критериев к единой шкале. Один из возможных методов линейного преобразования приведен ниже. Значения критериев приводятся к единой шкале измерения [a,b], где 0≤a≤b, при помощи следующей функции преобразования:  

1_1.JPG

После нормирования критериев можно переходить к решению задачи оптимизации. В науке существует значительное число подходов к решению задачи многокритериальной оптимизации. Однако при реализации решения в условиях управления коммерческой организацией наиболее приемлемыми являет подход, основанный на скаляризации критериев и приведения их к одному обобщающему критерию (напомним, что в нашем случае критериями оптимизации являются элементы вектора Z). Вот некоторые методы, применение которых на практике может дать хорошие результаты:  

1.   Метод выделения главного критерия. В этом случае критерий z1 признается самым важным для оптимизации целевой функции, для остальных критериев устанавливаются пороговые ограничения zi < z0i, где i = 1,k, что переводит их в разряд ограничений.  

Данный метод может применяться при принятии решений, когда затраты времени не имеют первостепенного значения, например, если реализация решения в течение месяца вполне приемлема. В этом случае временной критерий заменяется ограничением временных затрат диапазоном в 1 месяц и решается задача выбора альтернативы с наименьшими финансовыми затратами. Данный метод отличается простотой для понимания и легко может быть реализован на практике. При этом необходимо отметить, что данный метод предполагает ситуацию, когда один критерий значительно превосходит остальные по значимости.  

2.   Метод свертывания векторного критерия. При использовании данного метода варианты сравниваются с помощью функции F(w, Z), где w = (w1, w2, …wk) – весовые коэффициенты относительной важности частных критериев. Этот метод обеспечивает широкие возможности для использования управленческого опыта ЛПР и предоставляет ему гибкую систему оценки важности частых критериев оптимальности. При использовании данного метода возможна установка различных весовых коэффициентов для различных классов решаемых задач и поиск наиболее оптимального сочетания оперативности и эффективности управленческих воздействий.

Функция F может иметь вид аддитивного, мультипликативного, логического, среднестепенного и прочих критериев оптимальности.  

3.    Метод «идеальной точки». Для реализации данного метода ЛПР должно определить параметры «идеального решения» Z* = (z*1, z*2, … z*k), так что –∞ < Z* ≤ min Zi, i = 1,s. В результате получается оптимизационная функция, аналогичная приведенной в пункте 2 и имеющая вид F(w, (Z–Z*)). Конкретный вид функции F может быть выбран как один из рассмотренных в пункте 2.  

Данный метод имеет много общего методом свертывания векторного критерия. Достоинством метода является то, что ЛПР определяет свои предпочтения в явном виде, указывая параметры «идеального решения».  

С учетом вышесказанного можно применить аппарат теории принятия решений для описания процесса принятия управленческих решений. Представление ППР в виде математической модели позволит яснее представить сущность его отдельных стадий, определить спектр данных, используемых в процессе управления, и связать ППР с экономико-математическим обеспечением. Обработка и использование информации в модели находит отражение в стадиях ППР.  

1.   Постановка цели управленческого воздействия. На этом этапе задается конечное (целевое) состояние организации, которое должно быть достигнуто при реализации управленческого воздействия. Оно может быть задано через весь перечень характеристик системы или с помощью агрегированного показателя.  

Будущее состояние организации зависит не только от внутренних факторов, но и от состояния внешней среды. Таким образом, гипотеза о попадании организации в нужное состояние является прогнозом ЛПР и носит вероятностный характер. Обозначим желаемое состояние производственной системы специальным символом «*». Тогда цель управления может быть сформулирована через следующие показатели:  

Х*ц, FХ(Х*ц).

2.    Разработка управленческих альтернатив. На этом этапе на основе экономико-математических методов разрабатываются различные варианты поведения организации, оценивается их эффективность и затраты. В результате формируется список альтернатив, которые представляют собой функции преобразования. Их аргументами являются: вектор базовых характеристик организации X0, вектор затрат на реализацию альтернативы Z (который состоит, как мы выяснили, из составляющих финансовых и временных затрат) и вектор состояний внешней среды A. Результатом преобразования является новый вектор состояний X1.  

Отметим, что на данном этапе затраты и состояние внешней среды определяются на основании методов прогнозирования, поэтому конечный результат является случайной величиной. Математическая форма альтернативы имеет следующий вид:  

X*i = Yi(X0, Z*i, A*), i = 1,s;  

где Yi – i-ая альтернатива;
X0 – вектор базовых характеристик;
Z*i – прогнозируемые затраты на реализацию i-ой альтернативы;

  A* – прогноз состояния внешней среды;

X*i – вероятный вектор конечных характеристик при реализации i-ой альтернативы.

Возможна также запись преобразования относительно критерия эффективности:  

FХ(X*i) = Yi(FХ(X0), Z*i, A*), i = 1,s.

3.   Отбор альтернатив по ограничениям. Главным критерием эффективности альтернативы является достижение организацией состояния Х*ц (или FХ(Х*ц)). Поэтому предварительно отбираются только такие альтернативы, для которых:  
Х*i ≥ Х*ц, i = 1,n или FХ(Х*i) ≥ FХ(Х*ц).

(Для удобства будем считать, что все элементы Х*i имеют положительное влияние на деятельность организации.)

В случае наличия ограничений на затраты также проверяются условия:  

Z*i ≤ Zmaxi, i = 1,n.

4.   Сравнение альтернатив и выбор оптимальной альтернативы. На этом этапе необходимо воспользоваться одним из методов многокритериальной оптимизации, рассмотренных нами ранее. В результате, как правило, будет найдена единственная оптимальная альтернатива (обозначим ее как Y(X0, Z, A)).  

5.   Реализация альтернативы. Процесс реализации альтернативы, при котором организация переходит в новое состояние Х1, имеет форму  

X1 = Y(X0, Z1, A1), i = 1,s.  

Как уже было отмечено выше, реализация управленческого воздействия происходит в условиях действия факторов внешней среды aj (таких как уровни цен, курс доллара, ставка рефинансирования, поведение конкурентов и пр.), которые подвержены случайным колебаниям. При этом, реальное состояние среды на момент осуществления управленческого решения может не совпадать с прогнозируемым. В результате имеют место отклонения  
Δаj = a1j – a*j, j = 1,m.

Параметры реализуемой альтернативы под влиянием факторов внешней среды также могут отличаться от прогнозируемых значений. Можно выделить 2 частных случая таких отклонений:  

1)   X1 = Y(X0, Z1+ΔZ, A1+ΔA), ΔZ = Z1 – Z*, Х*ц ≤ Х1 (и FХ(Х*ц) ≤ FХ(Х1)).  

Это случай, когда непредвиденное изменение состояния внешней среды повлекло за собой увеличение затрат на ΔZ, но при этом цель Х*ц (или FХ(Х*ц)) была достигнута. Очевидно, что в данном случае организация не может повлиять на ситуацию, даже если альтернатива перестала быть оптимальной. Этот исход реализации решения с точки зрения управления можно определить как удовлетворительный, так как цель управления все же была достигнута.  

2)   X1 = Y(X0, Z1, A1+ΔA), ΔХ = Х*ц – Х1 (и ΔFХ = FХ(Х*ц) – FХ(Х1)).  

Второй вариант включает ситуации, когда изменение внешней среды повлекло за собой отклонения конечного состояния организации от прогнозируемого, в результате чего цель управленческого воздействия не была достигнута. Такой исход неблагоприятен для организации и его вероятность должна быть минимизирована в процессе управления.  

Одним из способов повышения эффективности управления и максимизации благоприятного результата является исследование надежности реализации управленческого воздействия. Решение этой задачи состоит в расчете вероятности успешной реализации альтернативы в условиях внешней среды.  

Так как значения факторов внешней среды аj являются случайными величинами, то элементы вектора параметров Х1, получаемые в процессе реализации альтернативы, также являются случайными величинами. Оценкой надежности принимаемого решения является вероятность совпадения прогнозируемого и реального значений параметров (Х1 = Х*ц).

В связи с тем, что вероятность полного совпадения Х1 и Х*ц мала, имеет смысл говорить о попадании Х1 в некоторую окрестность Х*ц. В этом случае решением задачи очевидно будет являться оценка отклонения значений элементов вектора Х1 от прогнозируемых значений вектора Х*, имеющая вид:  

Р(|Х1 – Х*ц| ≤ Δ) или Р(|FХ(Х*ц) – FХ(Х1)| ≤ Δ).  

Таким образом, задача сводится к определению вероятности попадания каждого параметра хi, имеющего математическое ожидание х*i, в заданный интервал размера Δ i.  

Согласно центральной предельной теореме математическое ожидание большого числа независимых выборок будет распределено нормально вне зависимости от действительного распределения данных при условии конечной дисперсии. В связи с этим можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении величин хi. Их распределение имеет вид:  

1_2.JPG

Функция распределения случайной величины хi имеет вид следующего интеграла:  

1_3.JPG

который характеризует вероятность события –∞ < xi ≤ x.

Зная конкретный вид функции распределения случайной величины можно найти интересующую нас вероятность попадания случайной переменной хi в определенный нами интервал как:  

Р(|xi – x*i| ≤ Δxi) = Ф(х*i + Δхi) – Ф(х*i – Δхi).

Полученная формула отражает существо выбранного подхода. В то же время область применения подхода требует определенной конкретизации при постановке задачи. Переменные хi, описывающие состояние организации, можно условно разделить на «позитивные», увеличение которых положительно сказывается на экономической ситуации (прибыль, выручка от реализации, величина основных фондов и т. д.), и «негативные» (затраты, штрафы, убытки). Так как максимальное улучшение комплекса параметров Х1 не является необходимым условием оптимальности решения, нас интересуют только отклонения параметров хi, отрицательно отражающиеся на результативном критерии FХ. В содержательном плане «позитивные» и «негативные» переменные идентичны, поэтому вероятностная модель успешной реализации управленческого решения будет иметь вид:  

Р(xi ≥ x*i – Δxi) = 1 – Ф(х*i – Δхi).  

Предложенная статическая модель позволяет оценить вероятность достижения в процессе управления удовлетворительного состояния параметра организации хi. Для оценки эффективности решения в целом вместо отдельного параметра необходимо выбрать комплексный критерий эффективности FХ, который является некоторой функцией от набора параметров. Модель надежности при этом будет иметь вид:  

Р(FХ ≥ F*Х – ΔFХ) = 1 – Ф(F*Х – ΔFХ).  

(Необходимо отметить, что случайная переменная FХ имеет собственные значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения.)

Для оценки значений среднеквадратических отклонений σx случайных переменных можно воспользоваться следующим подходом. Оценив экспертным путем максимально возможные отклонения внешних параметров, можно рассчитать предельные отклонения случайных переменных:  

Δxi = xпредi – x*i.

Приняв гипотезу о том, что возможные отклонения Δxi попадают в диапазон 3σ, можно с достаточной точностью вычислить значение среднеквадратического отклонения по формуле:  
1_4.JPG
Для FХ аналогично получаем:  
1_5.JPG

Основная сложность при применении данного подхода на практике состоит в прогнозировании параметров внешней среды. При решении данной задачи можно использовать трендовые модели значимых факторов внешней среды на основе накопленных данных за интервал предыстории. Путем аппроксимации графика тренда можно получить вероятные значения фактора через нужный промежуток времени. Установив параметр значимости оценки на уровне 99% (что соответствует диапазону 3σ), который определяет вероятность попадания будущего значения ряда в выбранный диапазон, получим максимально возможное отклонение параметра внешней среды. На основе полученных данных о предельных значениях внешних параметров в дальнейшем можно рассчитать предельные значения характеристик организации.  

Таким образом, используя описанную вероятностную модель, можно получить вероятности реализации альтернатив принятия управленческого решения. На основе полученных вероятностей реализации можно проводить сопоставление альтернатив, то есть рассматривать вероятность реализации альтернативы как критерий оптимальности управленческого решения.

Различные вероятности реализации альтернатив определяются различными параметрами их функций распределения. Параметр математического ожидания связан с конечным набором параметров организации, получаемых в результате управленческого воздействия. Это определяется тем, что, как правило, реализация разных вариантов управленческого воздействия приводит к разным конечным результатам. Различия в величине среднеквадратического отклонения σ определяются тем, что разные альтернативы имеют разные сроки реализации zврем, и факторы внешней среды влияют на них неодинаково. Как правило, более длительный срок реализации управленческого воздействия означает вероятность больших отклонений состояния внешней среды и, следовательно, большую неопределенность параметров к моменту его завершения.  

Используемая методика оценки вероятности попадания действительного вектора параметров организации в определенный прогнозируемый диапазон значений позволяет оценить вероятность успеха реализации любой выбранной альтернативы. Эта методика может служить для определения вероятности успеха управленческого воздействия, что имеет решающее значение в процессе управления. Бесспорная значимость такой оценки на предварительном этапе требует применения данной статистической модели на стадии сопоставления альтернатив. В результате можно говорить о необходимости ввода параметра вероятности успешной реализации альтернативы в состав критериев оптимизации.  

Таким образом, выбор оптимального управленческого решения может быть произведен на основе трех критериев: уровня финансовых затрат, уровня временных затрат и вероятности реализации альтернативы. Построение обобщающего критерия возможно на основе скаляризации критериев. Наилучшим подходом с точки зрения практики управления здесь является метод свертывания векторного критерия, когда с использованием весовых коэффициентов строится функция F(w, zфин, zврем, P), где w = (w1, w2, w3) – весовые коэффициенты относительной важности частных критериев. Этот метод обеспечивает широкие возможности для использования управленческого опыта ЛПР и предоставляет ему гибкую систему оценки важности частых критериев оптимальности. При этом решается задача поиска оптимального сочетания оперативности и эффективности управленческих воздействий. Функция F может иметь вид одного из предложенных критериев оптимальности.  

Совокупность приведенных в статье подходов образует математическую модель принятия управленческого решения организацией в условиях рыночной среды. На рис. 1 приведен механизм действия модели, описаны основные блоки и проиллюстрирован процесс поступления и использования информации при принятии управленческого решения.  

схема.JPG

Рис. 1. Механизм действия математической модели принятия управленческого решения

Остановимся более подробно на блоке оценки эффекта от реализации альтернативы. Для оценки эффекта используется традиционная формула эффективности, определяемая как отношение результата к затратам. В контексте решаемой задачи результатом является позитивное изменение вектора параметров организации ΔX = X1 – X0, а затратами – вектор затрат на реализацию альтернативы Z. Эффективность реализуемой альтернативы можно представить как:  
Ψ = ΔX/Z.

По ряду причин показатель эффективности не подходит для сопоставления альтернатив и не может быть использован в качестве критерия оптимизации. Однако он дает возможность проанализировать влияние факторов внешней среды на результат управленческого воздействия. Для оценки этого влияния достаточно найти изменение эффективности по сравнению с запланированным уровнем по следующей формуле:

ΔΨ = Ψ1 – Ψ*, где Ψ1 = (X1 – X0)/Z1, Ψ* = (X* – X0)/Z*.  

Разработанная в результате исследований математическая модель выполняет одну из самых сложных функций процесса управления – она позволяет осуществлять выбор наиболее оптимальной альтернативы на основе системного подхода. Применение аппарата теории принятия решений, теории вероятности и методов многокритериальной оптимизации позволяет выработать объективные критерии для сопоставления альтернатив, выбрать на их основе оптимальный вариант реализации управленческого воздействия и оценить его возможные последствия. Возможность опираться при выборе варианта управленческого воздействия не только на суждения ЛПР, но и на формальные методы, объективно повышает обоснованность решений, которые могут быть приняты. В результате повышается качество всего процесса управления.